Question

如图，已知矩形中， 、分别是、上的点， ， ， ， 、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）取的中点，连接， ，又为的中点，

所以， 平面， 平面，

所以平面，

同理可证， 平面，

又因为，

所以平面平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）在平面内，过点作的垂线，易证明这条垂线垂直平面，因为二面角大小为，所以，

建立空间直角坐标系如图所示，则， ， ， ， ，

则， ， ，

设平面的一个法向量，根据 ，

令，则， ，所以，

设平面的一个法向量，根据 ，

令，则， ，所以，

所以 ，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】证明线面平行有两种方法，法一是利用判定定理，寻求线线平行；法二是寻求面面平行，本题是通过面面平行去证明线面平行.求二面角常用空间向量去求，先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两个半平面的法向量，再利用公式求出二面角的余弦值.