Question

已知函数在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）设（为自然对数的底数），求函数在区间上的最大值；

（3）证明：当时， .

Answer

（1）， ;（2）;（3）见解析.

【解析】试题分析: （1）因为,则， ;（2）首先求出在区间的极值,再求出端点的函数值,比较得出最大值; （3）证明,设，根据（2）中的单调性即可得出结论.

试题解析:（1）的定义域为． ， ， ．

由已知得， ，且．

（2）， ．

令，得．

当时， ， ， 在内单调递增；

当时， ， ，∴在内单调递减．

因为， ，所以

当，即时，函数在上的最大值为；

② 当，即时，函数在上的最大值为．

综上

（3）证明：当时，要证，只需证．（*）

设，则由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，

∴，即，即，当且仅当时等号成立．

令 ，则，∴（*）式成立，即不等式成立．