Question

已知圆心在轴上的圆与直线切于点.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知，经过原点，且斜率为正数的直线与圆交于两点.

（ⅰ）求证： 为定值；

（ⅱ）求的最大值.

Answer

（1）;（2）（ⅰ）见解析;（ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由题意可知， ，解得，可求得半径,得圆的方程.

（2）（i）设直线l的方程为，与圆的方程联立，可得，利用韦达定理即可证明； 
（ii）表示

再求最值即可.

试题解析：（1）设圆心的坐标为，则，又，

由题意可知， ，则，

故，所以，即半径.

故圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，

由得： ，

所以， .

（ⅰ）为定值，

（ⅱ）

（当且仅当，即时等号成立）

故的最大值为.

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．