Question

已知函数.

（1）求曲线在原点处的切线方程；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）若方程有两个正实数根，求证： .

Answer

(1) ;(2) ;（3）见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用题意结合导函数与切线的关系求得切线方程为即可；

(2)利用题意讨论 和 两种情况可得实数的取值范围是.

(3)由(2)的结论，取，结合函数的可知可得： .

试题解析：

(1) ,故曲线在原点处的切线方程.

(2) ①当时， ；②当时，问题等价为恒成立，设，则，因为在上单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，所以上的最小值为，所以.③当时，问题等价为恒成立，设，则，所以在上单调递减，而时， 所以即可.综上所述.

（3）依第（2）问，取，有，因为在处的切线方程为.

设，则，令得或.容易知道在单调递增，在单调递减，而，所以当时， 单调递增.而，所以，当时， 恒成立.

所以.设分别与和的两个交点的横坐标为，则，所以.