Question

已知动圆与圆外切，又与直线相切 .

（1）求动圆的圆心的轨迹方程；

（2）若动点为直线上任一点，过点的直线与曲线相交两点.求证： .

Answer

(1) ;(2) 见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合抛物线的定义可得：动圆圆心的轨迹方程为： .

(2)由题意可设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合根与系数的关系可得： ， ，所以成立.

试题解析：

(1)依题知，动圆的圆心到点的距离等于到直线的距离，所以由抛物线的定义可知：动圆的圆心轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线，所以动圆圆心的轨迹方程为： .

(2)由题知当直线斜率为时，不符合题意，所以可设直线的方程为，联立，消去，得恒成立，所以可设，则，而，

，

所以成立.