Question

随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设；

（1）用分别表示和，并求出的取值范围；

（2）某一时刻太阳与三点在同一直线，此时地到直线的距离为，求的最大值．

Answer

（1）（2）的最大值为10．

【解析】试题分析：（1）本题考查解三角形的实际应用，由图根据余弦定理，在中， ，又因为，所以前面的表达式转化为，同理，在中， ，这样结合前面得到的等式，可以用分别表示出和；（2）由于，所以的面积与的面积相等，因此的面积等于，又，于是可以将转化为关于的函数，即，从而转化为求函数最大值.

试题解析：（1）在中， ， ，

由余弦定理得， ，

又，所以 ①

在中， ，

由余弦定理得，

②

①+②得，

①-②得， ，

所以，即，

又，即，所以．

（2），

故，

又，设，

所以， ，

又， ， 在上都是增函数；

所以， 在上是增函数，

所以的最大值为，即的最大值为10．

（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明或讨论，扣1分）

考点：1.余弦定理；2.解三角形的实际应用；3；函数的性质.

点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的方法总结：

（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积；

（2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量；

（3）求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过均值不等式、三角函数的最值、函数的最值等方法求得面积的最值或范围.