Question

已知函数， ， 的图象恒过定点，且点既在的图象上，又在的导函数的图象上.

⑴求, 的值；

(2)设,当且时，判断的符号，并说明理由；

(3)求证： (且）.

Answer

（1）， ；（2），证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）由的解析式知其图象过定点，由可求得，由可求得；（2）要判断的符号，可分别判断的符号， ，在时，而对，由于，因此由导数判断其单调性后，再判断其正负；（3）这里要有意识地想象此不等式的证明要利用上面的结论，考虑到当时， ，即，令（），所以，让从2开始写出个不等式，相加可证．

试题解析:（1）因为，所以恒过，所以， ，所以，

因为， ，所以，即， ；

（2）答： ，即证且时， ， 异号，因为

所以当时， ，因为，所以在单调递减，

又，所以，所以，因为当时， ，

所以，所以，所以，综上得证.

（3）由（2）知：当时， ，

即，令（），所以，

所以， ，……， ，

以上个式子相加，即得，

所以。

另法：（3）数学归纳法证明如下：

①当时，左边=，右边= ，左边-右边=

∴左边>右边，所以，当时，不等式成立。

②假设当时，不等式成立，即成立。

那么，当时，左边=，而右边=

要证： ，即证：

即证： ，即证★

由（2）知：当时， ，且，所以，即，

∵∴∴★成立

所以，当时，不等式成立．

由①②知，不等式（且）成立．

考点：函数的解析式，导数与函数的单调性同，构造法证明不等式．