Question

设函数， 表示导函数.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)将 代入函数的方程，结合导函数与函数切线的关系求解函数的切线方程即可；

(2)首先求得 ，然后结合导函数的性质分类讨论实数 的取值范围即可得出函数的单调区间；

(3)首先证明点 存在，然后利用一次函数的单调性证明 的唯一性即可.

试题解析：

（1）时， ， ， ， 在点处的切线方程为；

（2）， 的定义域为

当时， 在区间单调递增；

当时， 在区间单调递增，在区间单调递减.

（3）∵，∴，化简得

即，且唯一．

设，则，

再设， ，∴，

∴在是增函数，

∴，同理，

∴方程在有解．

∵一次函数在 是增函数，

∴方程在有唯一解，命题成立．