Question

已知椭圆的方程为，函数在处有极大值，点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线，是否存在实数，使直线与椭圆有两个不同的交点，且，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)利用原函数与导函数的关系求得极值即可求得实数 的值，进一步得出椭圆方程即可；

(2)假设所求解的点存在，设出点的坐标，结合中点坐标公式求解实数 的值即可.

试题解析：

（1） ， ， 区间单调递增，在区间单调递减， ，即得，即椭圆的方程为.

设为的中点， ，依题意知，

，两式相减得，而，又点在直线上， 若， ,即，得，此时点在椭圆内，满足题意，即存在实数满足题意.

点睛：本题第一问属于常规题目，第二问属于探索性问题,

探索性问题答题模板如下：

第一步：假设结论存在．

第二步：结合已知条件进行推理求解．

第三步：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设．

第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．