Question

某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件．

（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

Answer

（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.

【解析】试题分析：（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低元时，一星期多卖出件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.

试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而

（2）

由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减从而函数取得最大值的可能位置为或是

，

当时，

答：商品每件定价为元时，可使一个星期的商品销售利润最大.

考点：1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.