Question

如图， 是正方形的边的中点，将与分别沿、折起，使得点与点重合，记为点，得到三棱锥．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设运用线面垂直、面面垂直的判定定理进行推证；（2）构建空间直角坐标系，运用向量的数量积公式探求：

（Ⅰ）证明：∵，∴， ．

∵交于点， ， 在平面内，∴平面，

∵在平面内，∴平面平面．

（Ⅱ）设正方形的边长为2，取中点，连接， ，过点作于点，

易证平面，所以，

又，所以平面，

∵平面， 在平面内，∴，

∵，

∴且，

， ．

以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，所以， ，设平面的法向量为，则

令，得，

又平面的一个法向量为，记二面角的平面角为，

则．