Question

设点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数．

（1）求点的轨迹；

（2）若时得到的曲线是，将曲线向左平移一个单位长度后得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，过的直线分别交曲线于点，设， ， ，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析: (1)设 ，直接法求出点 的轨迹方程，由轨迹方程判断出轨迹; (2)由已知条件求出曲线E的方程,利用向量坐标运算求出 ,设直线 的斜率为 ,联立直线的方程和曲线E的方程,利用韦达定理求出 ,再求出 的范围.

试题解析:（Ⅰ）过点作， 为垂足，

设点的坐标为，则，

又，所以，

故点的轨迹方程为.

可化为，显然点的轨迹为焦点在轴上的椭圆.

（Ⅱ）时，得到的曲线的方程是，

故曲线的方程是.

设, ，则，

由，得，即.

当与轴不垂直时，直线的方程为，即，代入曲线的方程并注意到，

整理可得，

则，即，于是.

当与轴垂直时，A点的横坐标为， ，显然也成立.

同理可得.

设直线的方程为，联立，

消去y整理得，

由及，解得.

又，

则.

故求的取值范围是.

点睛:本题考查了轨迹方程的求法以及直线与椭圆相交时相关问题,属于中档题.在(1)中,求轨迹与求轨迹方程不一样,把轨迹方程求出来后,再判断是什么类型的曲线;在(2)中,注意向量坐标运算求出的表达式,再联立直线的方程和椭圆方程求出,进而求出 的范围.