Question

如图，四棱锥中，平面平面， ， ．

（1）证明： ；

（2）若，求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】【试题分析】（1）先借助题设中的面面垂直的性质证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）先确定三棱锥的底为，再求其高，然后运用三棱锥的体积公式探求：

（1）如图，连接交于点，

∵，即为等腰三角形，

又平分，

故，

∵平面底面，平面底面，

∴平面，因平面，

所以.

（2）如图，

记交于点，作于点，则底面，

因为， ，

所以， ，

由，又，

得，故.

点睛：立体几何是高中数学的重要内容和知识，也是高考重点考查的考点。这类问题的常常设置两个问题，一是空间线面位置关系的推证；二是空间角度距离的计算。解答线面位置关系的推证问题时，充分借助题设条件与线面、面面位置关系的判定定理和性质定理进行推断；求解角度、距离问题时，要么依据角度、距离的定义构造平面几何图形进行求解，要么建立空间直角坐标系运用空间向量的有关知识分析探求。