Question

已知椭圆的上顶点与左、右焦点构成的的面积为，又椭圆 的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的下顶点为N，过点的直线分别与椭圆交于两点．若的面积是的面积的倍，求的最大值．

Answer

（1）；（2）的最大值为.

【解析】试题分析：（1）因为的面积为，所以可列出关于， 的方程组,解得， ，（2）易得，根据直线方程与椭圆方程联立方程组，分别求出点坐标，利用两点之间距离公式可得底边长，根据点到直线距离公式可得高，再利用三角形面积公式可得.根据题意得，利用换元转化为一元二次函数，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得函数最值.

试题解析：（1）椭圆的离心率，又， ，解得， ，所以椭圆的方程为

（2）因为，

直线的方程为，直线的方程为，联立得，所以点

所以点到直线的距离为

联立得，所以

所以

所以

，

所以

令，则，

当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为．

点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.