Question

如图，在三棱锥中， ， ， ， ， 为上一点，且.

（1）求证： 平面；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取中点，则由等腰三角形性质得，利用勾股定理计算得到，再由线面垂直判定定理得平面，即得；另一方面利用余弦定理得，再由等腰三角形性质得．再一次利用线面垂直判定定理得平面．（2）求线面角，一般利用向量数量积进行求解，即先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求平面法向量，根据向量数量积求直线方向向量与法向量的夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：(Ⅰ)取中点，连接， ，

则由，知为中点．

∵， ，

∴由余弦定理，得．

∵，∴在中， ，

∴，∴．

又∵，∴， ，∴，∴，

又∵，∴平面，∵平面，∴，

又∵，∴平面．

(Ⅱ)以为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则， ， ，

， ， ∴， ， ．设是平面的一个法向量，则

由，得，取，则．

设直线与平面所成角为，则，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

解法二：作于，则, ,

所以 .在中， , ,

所以高

设点到平面的距离为，则

另一方面，

所以，所以直线与平面所成角的正弦值 .