Question

已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.

（1）求的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer

（1） ；（2）；（3） .

【解析】（1）因为的对称轴为，且，故函数在区间上单调递增，则由题设，即.

（2）由（1）可知，则可化为，即，令，由于，所以，则不等式可化为在上恒成立.记，因其对称轴为，故，所以，即所求实数的取值范围是.

（3）因，故，则原方程可化为，令， 由于，则

所以问题转化为方程有两个不相等的实数根，其中或，记，结合该二次函数图象可得：或，解之得或，则，故所求实数的取值范围是.

点睛：本题以含参数的二次函数为背景，精心设置了与之相关的三个问题，将转化化归思想、函数方程思想及数形结合思想有机地整合在一起，综合考查学生的转化化归能力、数形结合能力及运用函数方程思想分析问题解决问题的能力.求解第一问时，充分运用题设中的最大值和最小值等有效的条件信息，建立方程组求出参数；第二问的求解过程中，则巧妙地将参数从不等式中分离出来，并运用换元法将其转化为求函数的最值问题来处理；第三问则巧运用换元法，将方程问题进行等价转化，借助二次函数的图象建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解.