Question

已知是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在上有5个根，则的值是（    ）

A. 10    B. 9    C. 8    D. 7

Answer

A

【解析】

令，则方程可化为，依据题设问题转化为该方程有一个正实数根和一个负实数根。因为若该方程有两个正实数根，则原方程会有对应的八个实数根，所以要使原方程有五个实数根，须该方程有一个正实数根和一个实数根。运用题设条件可得，则函数是周期的周期函数。依据周期性与对称性画出该函数在区间上的图象如上图，结合图形可以看出：当该方程有一个正实数根时，其所有根（共4根）之和为，当有一个负实数根时，原方程只有一个根，故原方程的所有实数根之和为，故应选答案A。

点睛：本题将转化化归思想、函数方程思想及数形结合思想有机地整合在一起，综合考查学生的转化化归能力、数形结合能力及运用函数方程思想分析问题解决问题的能力。求解时，充分运用题设中的函数构成的方程有五个根这一条件信息，综合运用函数图象的对称性、奇偶性，画出函数在区间上的图象，然后再借助对称性分析探求根的和使得问题获解。