Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）对任意，且存在，使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，讨论和0的关系即可；

（2）不等式恒成立，转化为 ，记 ，不等式等价于，进而得到，构造函数求最值即可.

试题解析：

（1），

当时， 在上恒成立，函数在上单调递减，

当时， 得， 得，

在上递减，在上递增.

当时， 在上单调递减，在上单调递增.

（2） ，记 ，

则是递增的函数，

即不等式等价于，

，即，

令，则，令，得，

可得在上递减，在上递增，

，而， ，

，即，实数的取值范围是.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为.