Question

已知函数.

（1)当时，求函数的单调递减区间；

（2）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，减区间为,；当时，减区间为；当时，减区间为,（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）对f（x）进行求导，讨论a=1，a＞1.0＜a＜1，利用导数为负，求函数的减区间；（Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）-2，k（n+2）-2]，将其转化为g（x）=k（x+2）-2在上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为，

①当时， .

由得或.∴当， 时， 单调递减.

∴的单调递减区间为,.

②当时，恒有，∴单调递减.

∴的单调递减区间为.

③当时， .

由得或.∴当， 时， 单调递减.

∴的单调递减区间为,.

综上，当时， 的单调递减区间为,；

当时， 的单调递减区间为；

当时， 的单调递减区间为,.

（Ⅱ）当时， ， ，

当时， ，∴在上单调递增.

又在上恒成立.

在上单调递增.

由题意，得

原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根.

即方程在上有两个不相等的实数根.

令函数.

则. 令函数.

则在上有.

故在上单调递增.

，

当时，有即.∴单调递减；

当时，有即，∴单调递增.

， ，

的取值范围为

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值