Question

已知函数 在上单调递增,

(1)若函数有实数零点，求满足条件的实数的集合；

(2)若对于任意的时，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer

(1) ;（2）.

【解析】试题分析：(1)数形结合， 开口向上，对称轴为，与轴交于点图象有两种可能，一是对称轴在轴左侧，另一个是，对称轴在轴右侧，为使函数有实数零点，则函数图象应与轴有大于零的交点横坐标，所以，对称轴应在轴右侧，即，又因为在上单调递增，所以；

（2）令，只需且解不等式组，即可求的取值范围.

试题解析： （1）函数级单调递增区间是，因为在上单调递增，所以；

令 ，则

函数有实数零点，即： 在上有零点，只需：

方法一解得

方法二解得

综上： ，即

（2）化简得

因为对于任意的时，不等式恒成立，

即对于不等式恒成立，

设 （）

法一

当时，即不符合题意

当时，即，只需

得从而

当，即，只需

得或，与矛盾

法二得

综上知满足条件的的范围为

【方法点睛】本题主要考查函数的单调性、函数的零点及不等式恒成立问题，已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．