Question

已知，函数， ．（的图象连续不断）

(1) 求的单调区间；

(2) 当时，证明：存在，使；

(3) 若存在属于区间的，且，使，证明： ．

Answer

（Ⅰ）【解析】
， 令

.

当x变化时， 的变化情况如下表：

所以， 的单调递增区间是的单调递减区间是

（Ⅱ）证明：当

由（Ⅰ）知在（0，2）内单调递增，在内单调递减.令

由于在（0，2）内单调递增，故取

所以存在即存在

（Ⅲ）证明：由及（Ⅰ）的结论知，

从而上的最小值为又由，知

故

从而

【解析】试题分析：（1）求的单调区间，由于函数含有对数函数，因此求的单调区间，可用导数法，因此对函数求导得， ，令，解得，列表确定单调区间；（2）当时，证明：存在，使，可转化为在上有解，可令，有根的存在性定理可知，只要在找到两个，是得即可，故本题把代入得，由（1）知在内单调递增，在内单调递减， ，故，取，则，即可证出；（3）若存在均属于区间的，且，使，由（1）知的单调递增区间是，单调递减区间是，故，且在上的最小值为，而， ，只有，由单调性可知， ，从而可证得结论.

试题解析：（1）（1分）

令，解得（2分）

当变化时， 的变化情况如下表：

＋

0

－

递增

极大值

递减

所以， 的单调递增区间是，单调递减区间是（5分）

（2）证明：当时， ，

由（1）知在内单调递增，在内单调递减．

令． （6分）

由于在内单调递增，故，即（7分）

取，则.

所以存在，使，

即存在，使． （9分）

（说明： 的取法不唯一，只要满足，且即可．）

（3）证明：由及（1）的结论知，

从而在上的最小值为， （10分）

又由， ，知（11分）

故即（13分）

从而（14分）

考点：函数单调性，根的存在性定理.