Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证: .

Answer

(1)见解析；(2) 见解析.

【解析】试题分析：(1) 求出，分五种情讨论，分别令得增区间， 得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于的两个等式，由其中一个等式求得的范围，再根据另一个等式利用导数求得的范围.

试题解析：由已知得，所以.

(1) . ① 若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；

单调递减区间为. ②若，当时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ③ 若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.④若，故的单调递减区间为.⑤若，当或时， ；当时， ，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.

当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.

当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.当时， 的单调递增区间为；单调递减区间为.

当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；

单调递减区间为,；

(2) ,设的方程为，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.

又,即，令，在定义域上， ，所以上， 是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故

.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.