Question

某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知，历年中日泄流量在区间[30，60）

的年平均天数为156，一年按364天计．

（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；

（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．

【解析】试题分析：（Ⅰ）可利用频率分布直方图的性质，补全图像；

（Ⅱ）分别计算安装1台，2台，3台的日利润的期望值，然后进行比较.

试题解析：

（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为

，

设在区间[0，30）上， ，

则，

解得，

补充频率分布直方图如图；

（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，

①若安装1台发电机，则Y的值为-500，4000，其分布列为

Y

-500

4000

P

E(Y)＝；

②若安装2台发电机，则Y的值为-1000，3500，8000，其分布列为

Y

-1000

3500

8000

P

E(Y)＝；

③若安装3台发电机，则Y的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为

Y

-1500

3000

7500

12000

P

E(Y)＝；

∵

∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．