Question

如图，在直三棱柱中， 为上的点， 平面；

(Ⅰ)求证： 平面；

(Ⅱ)若，且，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结，证明,即可证明平面.

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）连结ED，

∵平面平面,平面，

∴，

∵为中点，∴为中点，

∵， ∴ ①，

法一：由平面， 平面，得②，

由①②及是平面内的两条相交直线，

得平面.

【法二:由平面， 平面

∴平面⊥平面 ，又平面 平面，得平面.】

（Ⅱ）由得，

由（Ⅰ）知，又得,

∵，∴，

如图以B为原点，建立空间直角坐标系如图示，

则， ， ，

得， ，

设是平面A1B1D的一个法向量，

则，得，令z=1，得，

设为平面A1BD的一个法向量，则，得，

令得，

依题意知二面角为锐二面角，设其大小为，

则 ，

即二面角的余弦值为．

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.