Question

已知函数，.

（1）若曲线仅在两个不同的点，处的切线都经过点，求证：，或；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，再借助导数的几何意义推证；（2）先将不等式进行转化，再借助导数知识求【解析】

试题解析：

（1）证明：∵，∴，

∴，

则曲线在两点处的切线的方程分别为：

，

.

将代入两条切线方程，得

，

.

由题可得方程即有且仅有两个不相等的两个实根.

设，

.

①当时，，∴单调递增，显然不成立.

②当时，，解得或.

∴的极值分别为，.

要使得关于的方程有且仅有两个不相等的实根，

则或.

（2）【解析】
，

设，则，

记，则，

当时，，于是在上是减函数，

从而当时，，故在上是减函数，

于是，从而，所以当时，.

所以，当时，在上恒成立，

因此，的取值范围是.

点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。求解第一问时，先运用导数的运算公式对函数的进行求导，再借助导数的几何意义建立方程组进行分析求解；第二问的求解过程中，先构造函数，再利用导数的求导法则进行求导，将问题进行等价转化，从而使得问题获解。