Question

已知焦距为2的椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为.点为椭圆上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图所示，点是椭圆上两点，点与点关于原点对称，，点在轴上，且与轴垂直，求证：三点共线.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程组，通过解方程组使得问题获解；（2）借助直线与椭圆的位置关系，运用斜率相等进行分析推证：

试题解析：

【解析】
（1）由题可得，∴，∴，

∵点为椭圆上不在坐标轴上任意一点，∴，∴，，

∴

，∴.

又，∴，，故椭圆的标准方程为.

（2）证明：设，，则，，

∵，都在上，∴，

∴，即，又，∴，

即，∴，

∴，又，

∴，∴三点共线.

点睛:圆锥曲线是平面解析几何中重要内容之一，也是高考重点考查的知识点之一。求解本题的第一问时，依据题设建立方程组，同解方程组使得问题获解；求解第二问时，则借助直线与椭圆的位置关系，运用斜率相等进行分析推证，从而将问题 进行等价转化与化归，最终使得问题巧妙获解。