Question

函数， ．

（Ⅰ）讨论的极值点的个数；

（Ⅱ）若对于任意，总有成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求 的导数 ，根据 求出的值域，讨论 的值得出的正负情况，判断的单调性和极值点问题；（Ⅱ） 等价于，由，利用分离常数法求出的表达式，再构造函数求最值即可求出结果.

试题解析：

（Ⅰ）, ,

①当，即时， 对恒成立， 在单调增， 没有极值点；

②当，即时，方程有两个不等正数解，

不妨设，则当时， 增； 时， 减； 时， 增，所以分别为极大值点和极小值点， 有两个极值点.

综上所述，当时， 没有极值点；当时， 有两个极值点.

（Ⅱ），由，即对于恒成立，设，

，

， 时， 减， 时， 增，

， ．