Question

在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点，，且．

（Ⅰ）求直线与交点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过的直线与轨迹C交于P,Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若,求证：.

Answer

（Ⅰ） ; （Ⅱ）见解析.

【解析】【试题分析】（Ⅰ）先建立动直线的方程，再运用消参法探求轨迹方程； （Ⅱ）借助直线与椭圆的位置关系推证：

（Ⅰ）依题意知直线A1N1的方程为 ①

直线A2N2的方程为 ②………………………………2分

设M(x，y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得 ,

由mn＝2，整理得； ………………………………4分

（Ⅱ）设，

由 （） ………………………………6分

由故, ………………8分

要证,即证,只需证：

只需即证 即,………10分

由（）得：，即证. ……………………12分

（本题亦可先证直线NQ过焦点F，再由得证）

点睛：椭圆是圆锥曲线的重要而典型的代表曲线之一，求解这类问题时，充分借助题设条件与椭圆的有关知识，运用等价转化思想、函数方程思想、分类整合思想等数学思想及运算求解能力、推理论证能力等综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。