Question

已知函数.

（1）若图象上的点处的切线斜率为，求的极大值；

（2）若在区间上是单调减函数，求的最小值.

Answer

（1）当时，取极大值；（2）最小值为.

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可知 ， ，解得 ，代入函数后求函数的导数，并根据导数零点判断两侧的单调性，求函数的极大值；（2）将问题转化为 ，当 恒成立，即 ，这样就转化为关于 的二元一次不等式组，求目标函数的最小值.

试题解析：（1）∵，

∴由题意可知：，且，

∴得：，

∴，

令，得，

由此可知：

3

+

0

-

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

∴当时，取极大值.

（2）∵在区间上是单调减函数，

∴在区间上恒成立，

根据二次函数图象可知且，得

即，作出不等式组表示的平面区域如图：

当直线经过交点时，

取得最小值，

∴的最小值为.

【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题，求导后变为二次函数，所以要熟练掌握二次函数的问题，比如开口，以及与轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响，如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0，这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组，进行求解.