Question

已知点分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，与的等比中项是，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过原点的直线与该轨迹交于两点，若直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.

Answer

（1）;（2）.

【解析】（1）【解析】
|MF|=，|BN|=，是|MF|与|FN|的等比中项．

∴，

∴b2=a2﹣c2=3．又，解得，

∴椭圆C的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为.故可设直线：，，联立直线和椭圆，消去可得，

，

由题意可知，，

即，

且，

又直线的斜率依次成等比数列，所以，

将代入并整理得，

因为，，，且，

设为点到直线的距离，则有，

，

所以，

所以三角形面积的取值范围为.

点睛：本题以椭圆的标准方程涉及到一些知识为背景，旨在综合考查椭圆的标准方程与直线的位置关系和有关几何性质等有关知识综合运用及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。第一问的求解，充分借助题设条件建立方程组，通过解方程组求出椭圆的标准方程；第二问的求解则借助直线椭圆的位置关系建立方程、不等式和函数关系，最后通过解方程、不等式，并借助函数巧妙地将范围问题转化为求函数的值域，从而使得问题巧妙获解。