Question

已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离为3，且点在圆上.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为.直线交椭圆于两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设点 的坐标为，利用已知条件列出的方程组，求出即可得到抛物线方程．

（2）利用已知条件推出 的关系，求得，得到椭圆 的方程，设 ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出 的范围，通过原点在以线段为直径的圆的外部，推出，然后求解的范围，最后求交集即可．

试题解析：（1）设点的坐标为．

由题可知，，解得，

∴抛物线的方程为；

（2）由（1）得，抛物线的焦点，

∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，

∴椭圆的半焦距，

即，又椭圆的离心率为，

∴，即，

∴椭圆的方程为，

设，

由，得，

由韦达定理，得，

由，得，

解得或，①

∵原点在以线段的圆的外部，则，

∴

，

即，②

由①，②得，实数的范围是或，即实数的取值范围是．

点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题.