Question

已知椭圆，离心率为，焦点过的直线交椭圆于两点，且的周长为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）与轴不重合的直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，且.若，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的定义可知的周长为 ，再根据 ，和 计算；（2）设直线方程为 ， ，与方程联立得到根与系数的关系，并且代入向量的关系后得到 ，并转化为向量的坐标表示，代入根与系数的关系，得到，参变分离后并结合 求 的取值范围.

试题解析：【解析】
（1）设，设，，由条件知，，

∴，，故的方程为：；

（2）设与椭圆的交点为，

将代入得，

所以①，

，.

因为，，所以，

所以，，

消去得，所以，

即，当时.

所以，.

由①得，解得.

【点睛】解析几何中的最值和参数的取值范围是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.