Question

函数.

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若，判断的奇偶性；

（3）是否存在实数，使函数在递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）为奇函数；（3）.

【解析】

试题分析：（1）当时，根据解得；（2）化简，先判断定义域关于原点对称，然后利用奇偶性的定义，判断，故函数为奇函数；（3）利用复合函数的单调性可知，由解得，经验证符合题意.

试题解析：

（1）由题意：，∴，即，所以函数的定义域为.

（2）易知，∵且，∴关于原点对称，又∵，

∴，∴为奇函数.

（3）令，∵，，∴在上单调递减，又∵函数在递增，

∴，又∵函数在的最大值为1，∴，即，∴，∵，∴符合题意.即存在实数，使函数在递增，并且最大值为 .

点睛：本题主要考查函数的基本性质，考查奇偶性的判断，考查复合函数的单调性等知识.第一问考查函数的定义域，需要对数的真数大于零.第二问考查函数的奇偶性，判断的时候先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断和的关系，由此判断的单调性.复合函数单调性判断主要是根据同增异减.