Question

已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.

Answer

（1）答案见解析； (2)证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求得定义域为，求导通分后研究导函数的分子，利用判别式对分子根的个数和分布进行分类讨论，由此求得函数的单调区间；（2）由（1）知时有两个极值点，且，由此利用差比较法，计算的最小值为，即可得证.

试题解析：（1）函数的定义域为.

，记，判别式.

①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.

②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然

（ⅰ）若，图象的对称轴，.

两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.

（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.

，

∴又，

.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.

点睛：本题主要考查导数与单调性的知识，考查利用导数来证明不等式的方法，还考查了分类讨论的数学思想和化归与转化的数学思想方法.求导之前要先求定义域.求导通分后往往只需要研究导函数的分子.本题利用分子的判别式进行分类讨论.第一问要证明不等式，采用的是差比较法，做差后利用导数求得右边函数的最小值大于零即可得证.