选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，将曲线
（
为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线
；以坐标原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知点
，直线
的极坐标方程为
，它与曲线的交点为，
，与曲线的交点为
，求
的面积.
已知函数
.
（1）若曲线
在点
处的切线斜率为1，求函数
在
上的最值；
（2）令
，若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）当
且
时，证明
.
已知抛物线
，圆
，点
为抛物线
上的动点，
为坐标原点，线段
的中点
的轨迹为曲线
.
（1）求抛物线的方程；
（2）点
是曲线上的点，过点
作圆
的两条切线，分别与
轴交于
两点.
求
面积的最小值.
如图，三棱锥
中，
平面
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，点
在
上，
.
（1）证明：
平面；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示.
（1）根据茎叶图中的数据完成
列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？
| 购买意愿强 | 购买意愿弱 | 合计 |
20~40岁 |
|
|
|
大于40岁 |
|
|
|
合计 |
|
|
|
（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，记抽到的2人中年龄大于40岁的市民人数为
，求的分布列和数学期望.
附：
.
在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．
（1）证明：为钝角三角形；
（2）若的面积为
，求的值．
