Question

已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求函数在上的最值；

（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）当且时，证明.

Answer

（Ⅰ）; （Ⅱ）; （Ⅲ）证明过程见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据曲线在点处的切线斜率为1，可求出参数的值，再对导函数在的正负，求出在上单调性，即可求出 的最值；（Ⅱ）由，构造辅助函数，再对进行求导，讨论的取值范围，利用函数单调性判断函数的最值，进而确定的取值范围；（Ⅲ）构造辅助函数，求导，求出在的单调性，可求出的最小值，即可证明不等式成立.

试题解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，

∴，记，∴，令得．

当时，单减；当时，单增，

∴，

故恒成立，所以在上单调递增，

∴．

（Ⅱ）∵，∴．

令，∴，

当时，，∴在上单增，∴．

（i）当即时，恒成立，即，∴在上单增，

∴，所以．

（ii）当即时，∵在上单增，且，

当时，，

∴，使，即．

当时，，即单减；

当时，，即单增．

∴，

∴，由，∴，记，

∴，∴在上单调递增，

∴，∴，

综上，．

（Ⅲ）等价于，

即．

∵，∴等价于．

令，

则．

∵，∴．

当时，，单减；

当时，，单增．

∴在处有极小值，即最小值，

∴，

∴且时，不等式成立．

【点睛】本题主要考查导数的定义，性质以及函数中的综合应用，函数恒成立问题的解题方法和技巧，不等式成立，分类讨论思想的应用，属于难题，本题（2）主要利用二次求导的方法，借助于二次求导进一步确定导函数的单调性，进而确定参数的范围，（3）构造辅助函数，求导，求出在的单调性，可求出的最小值，即可证明不等式成立，解题的关键是正确求导函数，确定导函数的单调性.