Question

已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点，为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线.

（1）求抛物线的方程；

（2）点是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.

求面积的最小值.

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可得，设中点坐标，表示出点，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线的方程；（Ⅱ）由题意可设切线方程为：，进而得到切线与x轴的交点为，由圆心到切线方程的距离为半径，得到，由韦达定理，可得到的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.

试题解析：

（Ⅰ）设，则点在抛物线上，

所以，即，所以曲线C的方程为：．

（Ⅱ）设切线方程为：，令y=0，解得，

所以切线与x轴的交点为，圆心(2，0)到切线的距离为，

∴，

整理得：，

设两条切线的斜率分别为，

则，

∴

记，则，

∵，

∴在上单增，∴，∴，

∴面积的最小值为．

【点睛】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.