选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，直线
（
为参数），以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知点
，直线
与曲线相交于点
，求
的值．
已知函数
有两个不同的零点
．
（1）求
的最值；
（2）证明：
过椭圆
的右焦点
作
轴的垂线，与椭圆
在第一象限内交于点
，过作直线
的垂线，垂足为
，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
为圆
上任意一点，过点作椭圆的两条切线
，设分别交圆
于点
，证明：
为圆的直径．
已知数列
满足：
，若
．
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）若数列的前
项和为
，求
．
心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）
| 立体几何题 | 代数题 | 总计 |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
已知向量
，
，函数
．
（1）求
的单调递增区间；
（2）若
且
，求
．
