Question

已知是直线：上的动点，点的坐标是，过的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设曲线上的动点关于轴的对称点为，点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为（与不重合）．是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可知：，即曲线为抛物线，其焦点为，曲线的方程为；（Ⅱ）设，则，直线的方程为，代入抛物线，求得点坐标，的方程为，令，得．即直线与轴交于定点．

因此存在定点，使得，，三点共线．

试题解析：

（Ⅰ）依题意，，即曲线为抛物线，其焦点为，准线方程为：，所以曲线的方程为．

（Ⅱ）设，则，

直线的斜率为，直线的方程为．的方程为

由方程组得．

设，则，，，所以，

又，所以的方程为．

令，得．即直线与轴交于定点．

因此存在定点，使得，，三点共线．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现