Question

如图，四边形为正方形， 平面， ，点， 分别为， 的中点．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连接、，由已知结合三角形中位线定理可得且，得四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定可得平面；（Ⅱ）利用等积法可得： ，代入棱锥体积公式可得点到平面的距离．

试题解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接， ，则，且，

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴，∴平面．

（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．

利用等体积法： ，即， ，

∵， ，∴，∴．

点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.