Question

已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的，，都有．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）任取定义域内两个数，利用单调性的定义，可证明函数为定义域上的增函数，由此列出不等式组，解这个不等式组可求得的取值范围；（2）根据（1）求得函数为增函数，由此求得函数的最大值为，根据恒成立问题，可得，即对任意的恒成立.构造函数，其图象是直线，故只需端点值不大于零即可，即，由此可求得实数的取值范围.

试题解析：（1）设任意满足，由题意可得

，

即，∴在定义域上是增函数.

∴

， 解得 ∴的取值范围为

（2）由（1）知对任意的恒成立，

∴恒成立，即对任意的恒成立，

令，则只需，即，

解得 ∴的取值范围是

点睛：本题主要考查利用函数单调性的定义判断函数的单调性，考查抽象函数范畴下证明不等式的方法，考查恒成立问题处理的基本方法.对于抽象函数范畴下不等式的证明，主要考虑的是函数的单调性，还有函数的定义域.函数的单调性的证明方法实际上是差比较法.恒成立问题主要转化方法有两个，一个是转化为最值，一个是转化为一次函数，利用端点值来求解.