Question

已知函数．

（1）证明：；

（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（1）令,再证明在定义域内小于等于零即可。

（2）令，对的取值进行分类讨论，然后判断的值是否符合题意，或者利用导数在分析函数单调性中的应用来找出的哪些取值符合题意即可.

试题解析：（Ⅰ）令,则

当所以

即在递增；在递减；

所以，

（Ⅱ）记则在上，，

①若，，时，，单调递增，，

这与上矛盾；

②若，，上递增，而，这与上矛盾；

③若，， 时，单调递减；时单递增；

∴，即恒成立；

④若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴，这与上矛盾；

⑤若，，时，，单调递增；时，，单调递减，∴这与上矛盾．

综上，实数的取值范围是．

点晴：本题考查的是导数在研究函数中的综合应用，第一问不等式的证明通过作差构造新的函数，利用导数知识证明其最大值小于等于零即可;第二问中 令，和第一问的区别在于中含有参数,利用导数在分析函数单调性中的应用来找出的哪些取值符合题意即可.