选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，已知曲线
（
为参数），在以原点
为极点， 
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；
（2）过点
且与直线
平行的直线
交
于
， 
两点，求点
到
， 
两点的距离之积.
已知函数
，
．
（1）若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数
的值；
（2）设
，若对任意两个不等的正数
，都有
恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在
上存在一点
，使得
成立，求实数的取值范围．
已知右焦点为
的椭圆
与直线
相交于
、
两点，且
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）
为坐标原点，
，
，
是椭圆
上不同的三点，并且
为
的重心，试探究的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
如图1，在
中，
是
边的中点，现把
沿
折成如图2所示的三棱锥
，使得
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值．
某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；
（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为
，答对文科题的概率均为
，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分
的分布列与数学期望
.
已知向量
，
，函数
．
（1）求函数
的最小正周期及单调递增区间；
（2）在
中，三内角
，
，
的对边分别为
，已知函数的图象经过点
，
成等差数列，且
，求
的值.
