Question

已知函数（其中为自然对数的底数，）．

（1）若仅有一个极值点，求的取值范围；

（2）证明：当时，有两个零点，且．

Answer

（1）;(2)证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)求出函数的导函数，转化不等式，再通过与的大小讨论即可求的取值范围；（2）通过的范围及的零点个数，即可确定函数恒成立的条件，通过构造函数的方法，转化成利用导函数求恒成立问题.

试题解析：（1），

由得到或 （*）

由于仅有一个极值点，

关于的方程（*）必无解，

①当时，（*）无解，符合题意，

②当时，由（*）得，故由得，

由于这两种情况都有，当时，，于是为减函数，当时，，于是为增函数，∴仅为的极值点，综上可得的取值范围是；

（2）由（1）当时，为的极小值点，

又∵对于恒成立，

对于恒成立，

对于恒成立，

∴当时，有一个零点，当时，有另一个零点，

即，

且，（#）

所以，

下面再证明，即证，

由得，

由于为减函数，

于是只需证明，

也就是证明，

，

借助（#）代换可得，

令，

则,

∵为的减函数，且，

∴在恒成立，

于是为的减函数，即，

∴，这就证明了，综上所述，．

【点睛】本题主要考查函数的单调性和不等式的证明，考查了利用求导数研究函数的性质解题能力和分类讨论思想的应用，第一问借助函数为单调函数进行转化，第二问通过构造函数，分析函数的单调性，最终达到证明不等式成立的目的,因此正确构造函数是解决本题的关键.