Question

已知椭圆的左焦点的离心率为是和的等比中项．

（1）求曲线的方程；

（2）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于两点，若，求的值．

Answer

（1）;(2) .

【解析】

试题分析：(1)根据条件是和的等比中项，焦点，联立方程即可求出曲线的方程；（2）由题意，分两种讨论：1.当倾斜角时，求出的值；2. 当倾斜角时，设倾斜角为的直线的斜率，两条直线分别表示出来，再和曲线的方程联立，利用韦达定理，求出的值.

试题解析：（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；

（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，

①当时，由，知，则，

于是，此时；

（2）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，

设，则，

由，可得，

则，

由可得：，

由于，

设与椭圆的两个交点坐标依次为，

于是，

∴

，综上所述总有．