Question

已知在三棱锥中，分别是的中点，都是正三角形，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）若点在一个表面积为的球面上，求的边长.

Answer

(1)证明过程见解析；（2）（3）.

【解析】试题分析：（1）连接，由，是正三角形且，为、的中点可得，可得①，由已知易证面，从而可得，利用线面垂直的判定定理可证；（2）由，可得， 为所求的二面角，由（1）可得为直角三角形，中，求解即可；（3）由题意可求的外接球的半径，由（2）得（a为的边长）且 为等腰直角三角形，故而可求得结果.

试题解析：(1)证明：连接，

因为在等边中， 为中点，所以.

因为,,.

所以平面,

又平面,所以,

在中，为边上的中线，

又，

所以为直角三角形，且.

因为，，，

所以平面.

（2）【解析】
由（1）可知， 为所求二面角的平面角.

设，则，，

在直角三角形中，.

(3)【解析】
设球半径为，则，所以.

设的边长为，

因为平面，平面

所以，，

且由（2）知，.

因为,

所以为直角三角形，且，，

所以，所以.

点睛：本小题主要考查空间线面垂直的关系、二面角的度量、几何体的构造的等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，在该题中先由线线垂直得到线面垂直，在由线面垂直得到线线垂直.