Question

如图，四棱锥中，，且平面平面.

（1）求证：；

（2）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.

Answer

(1)证明过程见解析；（2）当点是线段的中点时，平面，证明过程见解析.

【解析】试题分析：（1）由平面平面，根据面面垂直性质定理可得平面，故可得线线垂直；（2）当为中点时，取中点，连接，，利用三角形中位线结合构造平行四边行可得，故可得结论.

试题解析：证明：（1）∵平面平面，平面平面，

，平面，

∴平面,

∵平面,所以.

(2) 当点是线段的中点时，平面.

证明如下： 分别取的中点，连接

则为的中位线，

所以,且，

又，所以,且，

所以四边形是平行四边形，所以,

又因为平面，平面

所以平面.

点睛：本题考查了线线垂直的判定以及线面平行的探究等；破解线面、线线垂直关系的技巧：(1)解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求解线面平行的题型中，常见的方式有：1.利用三角形中位线；2.构造平行四边形；3.利用面面平行等.