Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1)求证：PA∥平面EDB；

（2)求证：PB⊥平面EFD；

（3)求二面角C－PB－D的大小.

Answer

（1)详见解析（2)详见解析（3) 60°

【解析】

试题分析：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小

试题解析：(1)证明: 如图所示，连接AC，AC交BD于O，连接EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO. ……2

而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB. ……4

（2)证明: ∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，

∴PD⊥DC.

∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.① ……6

同样，由PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC,又PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PDC.

而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②且PC∩BC＝C可得DE⊥平面PBC.

而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD. ……8

（3)解 由（2)知，PB⊥DF.

故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. ……9

由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，

则PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝a，PC＝a，DE＝a，

在Rt△PDB中，DF＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，

∴∠EFD＝60°. ……11

∴二面角C－PB－D的大小为60°. ……12

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理，二面角