Question

已知动圆过点，且被轴截得的线段长为4，记动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）问：轴上是否存在一定点，使得对于曲线上的任意两点和，当时，恒有与的面积之比等于？若存在，则求点的坐标，否则说明理由．

Answer

（1）；（2）存在，定点.

【解析】

试题分析：（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得；（2）由三点共线的方程:

，由与的面积之比等于平分此直线的倾斜角互补

存在定点，满足条件．

试题解析：（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得：，化为：，

∴动圆圆心的轨迹方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）设由，可知：三点共线，设直线的方程为：，代入抛物线方程可得：，

∴，由与的面积之比等于，可得：平分，

因此直线的倾斜角互补，

∴，∴，

把代入可得：，

∴，化为：，由于对于任意都 成立，∴，

故存在定点，满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、曲线的方程；2、直线与抛物线；3、三角形的面积.

【方法点晴】本题考查曲线的方程、直线与抛物线、三角形的面积，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题由题意可得.第二小题由三点共线

的方程: ，由与的面积之比等于平分 的倾斜角互补

存在定点．