Question

在三棱柱中，已知，点在底面的投影是线段的中点．

（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；

（2）求：平面与平面夹角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；．（2）．

【解析】

试题分析：（1）证明：作于点，由，又平面，易得平面 平面，由，

；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量是，

平面的法向量.

试题解析： （1）证明：连接，在中，作于点，因为，得，因为平面，所以，

因为，得，所以平面，所以，所以平面，

又，得．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则．

由得点的坐标是，

由（1）得平面的法向量是，

设平面的法向理，

由得，

令，得，即，

所以，

即平面与平面的夹角的余弦值是．．．．．．．．．．．．．．．．12分

考点：1、线面垂直；2、二面角的平面角.

【方法点晴】本题考查线面垂直、二面角的平面角，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型. 第一小题作于点，由，再证平面平面，由，．第二小题建立空间直角坐标系，求得平面的法向量是，平面的法向量.